Имя Алексей на английском языке можно написать как "Alexey", а также как "Alexei", "Aleksei", "Aleksey", "Alexej", "Aleksej". Но в загранпаспортах это имя будет написано исключительно как "Alexei", согласно приказу Федеральной миграционной службы (ФМС России) от 26 марта 2014 года N 211. Естественно, никто никогда не додумается проверять, как именно Вы пишете свое имя, представляясь на иноязычных форумах или чатах. Это, безусловно, сугубо ваше дело. А представиться устно во время заграничных путешествий проще всего как «Алекс». А теперь немного из истории имени. Имя Алексей - греческого происхождения, образовано оно от др.-греч. ?????, что значит «защищать», «отражать», «предотвращать». Церковная форма имени до 1708 года Алексий. Особенно полюбилось это имя в России после того, как под этим именем был крещен сын Михаила Федоровича Романова, Алексей Михайлович. Не для кого не секрет, что от этого имени была образована одна из распространённых русских фамилий - Алексеев. Во многих культурах мира, по крайней мере, европейских, есть эквивалент этого имени: в белорусском – Аляксей, в венгерском – Layosh, в испанском - Alejo и Alexis, в итальянском - Alessio, в финском – Aleksis и Aleksi, во французском - Alexis, в ирландском – Liam, в немецком - Alex и т.д. Человеку с таким именем очень просто представляться в заграничных странах , имя запоминают чрезвычайно быстро. А еще это имя, помимо Алексея Михайловича Романова, за всю историю носило и носит немало знатных людей.